Κωνικές τομές και ευθεία στο άπειρο:

Θα ορίσουμε τις κωνικές τομές μ’ έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο που θα μας επιτρέψει μια διαφορετική κατανόησή τους μέσω της έννοιας του απείρου.

Ορισμός: Στο επίπεδο εφοδιασμένο μ’ ένα σημείο αναφοράς μια κωνική τομή είναι το σύνολο των σημείων που επαληθεύουν μια ομογενής εξίσωση δευτέρου βαθμού.

Συντεταγμένες και σημεία στο άπειρο:

Ορίζουμε επίσης τις συντεταγμένες ενός σημείου στο επίπεδο με μια τριάδα αριθμών ώστε να μπορούμε να αλγεβροποιήσουμε τα σημεία που βρίσκονται στο άπειρο.  όπου  με X,Y,Z όχι ταυτόχρονα 0.

Με αυτή τη γραφή ένα σημείο στο επίπεδο δεν ορίζεται πια μονοσήμαντα, για παράδειγμα το (2,3) γράφεται (2,3,1),(4,6,2),(-6,-9,-3),...

Έστω τα σημεία στον άξονα των x με εξίσωση y = 0. Προφανώς θα είναι της μορφής (X₀,0,1). Τότε το σημείο που βρίσκεται στο άπειρο πάνω σ’ αυτή την ευθεία είναι το (Χ₀,0,0) αφού  = ότι θέλουμε, στην προκειμένη περίπτωση . Ομοίως το σημείο που βρίσκεται στο άπειρο κατά μήκος της ευθείας y = 1 είναι πάλι (Χ₀,0,0) όπου . Βλέπουμε δηλαδή ότι κάθε παράλληλες ευθείες όπως οι y = 0 και y = 1 έχουν ένα κοινό σημείο στο άπειρο. Εδώ το κοινό αυτό σημείο είναι το (Χ₀,0,0) ή (1,0,0) για ευκολία. Το κοινό αυτό σημείο ορίζουμε ως την κοινή διεύθυνσή τους.

Δηλαδή 2 παράλληλες ευθείες τέμνονται στο άπειρο σ’ ένα κοινό σημείο που ονομάζουμε διεύθυνση. Η διεύθυνση αυτή είναι κοινή σε κάθε παράλληλες ευθείες και ευρύτερη από την έννοια της διευθύνσεως που γνωρίζαμε ως τώρα. Το κοινό αυτό σημείο ορίζει κατά κάποιο τρόπο μια κλάση ισοδυναμίας μεταξύ των παράλληλων ευθειών.

Η ευθεία στο άπειρο:

Ας βρούμε τώρα την εξίσωση της ευθείας του απείρου. Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της μορφής               ax+by+c = 0. Τώρα τα σημεία της ευθείας αυτής (Χ,Υ,Ζ) βρίσκονται στο άπειρο όταν Ζ = 0, αφού για Ζ = 0 έχουμε Χ = x.Ζ = x.0 = 0, Υ = y.Z = y.0 = 0 . Εξάλλου κάθε σημείο που βρίσκεται στο άπειρο έχει αναγκαστικά την συντεταγμένη Ζ μηδενική. Οπότε στο εξής θα θεωρούμε ότι η ευθεία στο άπειρο είναι η dΖ = 0.

Οι 3 κωνικές τομές:

Η γενική εξίσωση μιας κωνικής τομής σύμφωνα με τον ορισμό που διατυπώσαμε και τις συντεταγμένες που ορίσαμε είναι Ca₁₁X²+2a₁₂XY+2a₁₃XZ +a₂₂Y²+2a₂₃YZ +a₃₃Z² = 0.

Άρα η τομή της κωνικής C με την ευθεία Ζ = 0 είναι = a₁₁X²+2a₁₂XY +a₂₂Y² = 0.

Θεωρούμε την διακρίνουσα δ αυτής της δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Για δ > 0 η κωνική έχει 2 σημεία στο άπειρο οπότε πρόκειται για υπερβολή.

Για δ = 0 η κωνική έχει 1 σημείο στο άπειρο οπότε πρόκειται για παραβολή.

Για δ < 0 η κωνική δεν έχει σημεία στο άπειρο οπότε πρόκειται για έλλειψη.

Παρακάτω φαίνονται γραφικά οι 3 κωνικές τομές.

έλλειψη:                                                 υπερβολή:                                              παραβολή: 

Τα παραπάνω γραφήματα δείχνουν την ευθεία του απείρου σε σχέση με τις 3 κωνικές τομές. Διαισθητικά εύκολα καταλαβαίνουμε ότι η έλλειψη δεν έχει σημεία στο άπειρο. Για την υπερβολή το πράγμα δυσκολεύει. Οι 2 κλάδοι της υπερβολής έχουν ένα κοινό σημείο στο άπειρο γι’ αυτό έχει 2 κι όχι 4 σημεία στο άπειρο. Αν συμβολίσουμε με Α₁ και Α₂ τα 2 σημεία αυτά. Ακολουθεί το γράφημα μιας υπερβολής με τα 2 σημεία της στο άπειρο.

Βλέπουμε δηλαδή ότι η υπερβολή πάει στο άπειρο και επιστρέφει από την άλλη πλευρά. Η ευθεία του απείρου συνεπώς δεν είναι «ευθεία» αλλά «καμπύλη» ώστε να περιέχει τα 2 σημεία Α₁ και Α₂.

Για την παραβολή οι 2 κλάδοι της έχουν το ίδιο σημείο στο άπειρο. Ο ένας κλάδος της παραβολής κατά κάποιο τρόπο πάει στο άπειρο συναντά την ευθεία στο άπειρο κι επιστρέφει από τον δεύτερο κλάδο. 

Εκφυλισμένες κωνικές τομές:

Θεωρούμε την εξίσωση Ca₁₁X²+2a₁₂XY+2a₁₃XZ +a₂₂Y²+2a₂₃YZ +a₃₃Z² = 0. Η ορίζουσα που ορίζεται από τα a₁₁,a₁₂, a₁₃,a₂₂,a₂,a₃₃ μας δείχνει αν η κωνική τομή είναι εκφυλισμένη. Θεωρούμε λοιπόν την ορίζουσα Δ = . Για Δ  η κωνική δεν είναι εκφυλισμένη ενώ για Δ = 0 η κωνική είναι εκφυλισμένη. Οι εκφυλισμένες κωνικές είναι η εκφυλισμένη έλλειψη, η απλά εκφυλισμένη παραβολή, η διπλά εκφυλισμένη παραβολή και η εκφυλισμένη υπερβολή. Ακολουθούν τα γραφήματά τους

εκφ. έλλειψη:                             απλά εκφ. παραβολή:                διπλά εκφ. παραβολή:

 εκφ. υπερβολή:

Μέσω των παραδειγμάτων που ακολουθούν θα δούμε γιατί οι εκφυλισμένες κωνικές τομές πέρνουν την παραπάνω μορφή.

Παραδείγματα:

1)C₁(Χ+Υ+Ζ).(Χ-Υ+Ζ) = 0 άρα C₁ X²+XZ -Y²+YZ +Z² = 0

     πρόκειται για υπερβολή αφού έχει 2 σημεία στο άπειρο.  συνεπάγεται Χ²-Υ² = 0 άρα Χ= ±Y και τα 2 σημεία στο άπειρο είναι τα Α₁(1,1,0) και Α₂(1,-1,0) όπου για ευκολία θεωρούμε την μονάδα.

Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι η υπερβολή αυτή είναι εκφυλισμένη αφού η σχέση                      (Χ+Υ+Ζ).(Χ-Υ+Ζ) = 0 ισχύει αν Χ+Υ+Ζ = 0 ή Χ-Υ+Ζ = 0 δηλαδή αν y = x+1 ή  y = -x-1. Δηλαδή το γράφημα της C₁ είναι 2 τεμνόμενες ευθείες. Προφανώς πρόκειται για εκφυλισμένη υπερβολή. Εξάλλου το αποτέλεσμα επαληθεύεται αφού Δ = 0.

2) C₂X²+Y² = 0

Προφανώς πρόκειται για έλλειψη αφού δεν έχει σημεία στο άπειρο (δεν έχει σημεία τομής με την ευθεία d). Όμως η C₂ γράφεται και C₂X²-i²Y² = 0 C₂(X-iΥ).(Χ+iΥ) = 0 C₂d₁.d₂ = 0 όπου οι d₁ και d₂ είναι μιγαδικές ευθείες που τέμνονται σ’ ένα πραγματικό σημείο το (0,0,1) ή (0,0). Δηλαδή έχουμε το γράφημα που προαναφέραμε. Ομοίως το αποτέλεσμα επαληθεύεται αφού Δ = 0.

3) C₃(X+Y+Ζ)² = 0

     Δηλαδή έχουμε Χ+Υ+Ζ = 0y = -x-1. Προφανώς πρόκειται για παραβολή αφού δ = 0. Βλέπουμε ότι είναι εκφυλισμένη εφ’ όσον το γράφημά της είναι 2 ταυτιζόμενες ευθείες. Εξάλλου Δ = 0.

Πολικές,εφαπτομένες,ασύμπτοτες,κέντρο:

Η πολική σ’ένα σημείο P που συμβολίζεται Po_p είναι η ευθεία που συνδέει 2 σημεία Α και Β όπου τα Α,Β τα 2 σημεία που βρίσκονται πάνω στην εφαπτομένη του γραφήματος που περνάει από το P. Το σημείο P ονομάζεται ο πόλος της ευθείας Po_p.

‘Έστω C₃f (X,Y,Ζ) = 0.Η εξίσωση της πολικής που διέρχεται από το σημείο P(X₀,Y₀,Z₀) είναι  ή .

Όμως όσο το σημείο P πλησιάζει την κωνική τομή η πολική τείνει να γίνει εφαπτομένη. Όταν το σημείο P βρίσκεται πάνω στην κωνική τομή τότε η πολική είναι η εφαπτομένη. Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι  όπου (Χ₁,Υ₁,Ζ₁) ανήκει στην κωνική τομή. Υπάρχουν κι άλλες ιδιότητες των πολικών στις οποίες δεν θα επεκταθούμε.

Οι πολικές εκτός από την εύρεση της εξίσωσης της εφαπτομένης σ’ ένα σημείο μας βοηθάν στο να βρούμε και την εξίσωση της ασύμπτωτης. Αν πάρουμε το σημείο P να βρίσκεται στο άπειρο τότε η ασύμπτωτη θα είναι η πολική στο σημείο αυτό. Η ασύμπτωτη είναι δηλαδή η εφαπτόμενη στο σημείο στο άπειρο (ή στα σημαία στο άπειρο) της κωνικής τομής. Εφ’ όσον ο όρος  είναι 0 για ένα σημείο στο άπειρο, η εξίσωση της ασύμπτωτης δίνεται από τη σχέση .

Επίσης ξέρουμε ότι το κέντρο της κωνικής τομής είναι το σημείο τομής των ασυμπτότων. Δηλαδή είναι το σημείο που επαληθεύει τις εξισώσεις  και . 

Παρατηρήσεις:

-Αν η πολική ενός σημείου P διέρχεται από ένα σημείο Q, τότε η πολική του Q διέρχεται από το P.

-Αν το σημείο P βρίσκεται μέσα στην κωνική τομή τότε η πολική τέμνει την κωνική τομή σε μιγαδικά σημεία. Άρα μπορούμε να ορίσουμε το εσωτερικό μιας κωνικής τομής ως το σύνολο των σημείων που οι πολικές τους δεν τέμνουν την κωνική τομή σε πραγματικά σημεία.

-Έστω ότι μια κωνική τομή έχει ασύμπτωτες τις As₁ και As₂ και σημεία στο άπειρο τα A₁ και Α₂. Προφανώς η As₁ είναι η πολική του Α₁ και η As₂ είναι η πολική του Α₂. Η τομή των As₁ και As₂ (που είναι το κέντρο) ανήκει στην πολική του Α₁ και στην πολική του Α₂. Άρα η πολική του κέντρου διέρχεται από το Α₁ και από το Α₂. Συνεπώς το κέντρο της κωνική τομής είναι ο πόλος της ευθείας στο άπειρο αφού η πολική του κέντρου είναι η ευθεία στο άπειρο (εφ’ όσον 2 σημεία στο άπειρο ορίζουν την ευθεία στο άπειρο).

-Έστω οι ευθείες Α και Β με σημεία στο άπειρο (1,ω₁,0) και (1,ω₂,0).Η διεύθυνση των Α και Β αντιστοίχως είναι w₁(1,ω₁,0) και w₂(1,ω₂,0).Αν Α κάθετο στο Β τότε  1+ω_1.ω₂ = 0 από ιδιότητα εσωτερικού γινομένου. Με τον παραπάνω τρόπο μπορούμε εύκολα να βρούμε τους άξονες της κωνικής τομής εφ’ όσον ξέρουμε ότι είναι κάθετοι μεταξύ τους κι άρα αν το σημείο στο άπειρο του πρώτου άξονα είναι (1,ω,0), το σημείο στο άπειρο του δεύτερου θα είναι  (-ω,1,0) (μία δυνατή γραφή).

-Τέλος για την εύρεση των κορυφών της κωνικής τομής ξέρουμε ότι είναι η τομή των αξόνων της κωνικής με την κωνική.

Παραδείγματα:

1)Έστω Cx²+3xz –4y²-7x +8y-1 = 0,να βρεθούν οι ασύμπτωτες.

Πρώτον ομογενοποιούμε την εξίσωση,CX²+3XZ -4Y²-7ΧZ +8ΥΖ-Z² = 0.

Βρίσκουμε τα σημεία στο άπειρο . Χ²+3ΧΥ-4Υ² = 0 οπότε  

Χ = Υ ή Χ = -4Υ.Άρα τα σημεία στο άπειρο είναι τα (1,1,0) και (-4,1,0). (μία δυνατή γραφή τους).

Οπότε  και           

.

2) Έστω Cx²+xy +4y²+2x -3y+5 = 0, να βρεθεί το κέντρο της κωνικής τομής, η διάμετρος D₁ της κωνική τομής είναι παράλληλη στην ευθεία Ε με εξίσωση y = 3x+1 και η δεύτερη διάμετρος D₂ που είναι ”conjugate”συζυγής της πρώτης. (2 διάμετροι είναι  ”conjugate” όταν η καθεμία απ’ αυτές είναι η πολική του σημείου στο άπειρο της άλλης).

Το κέντρο βρίσκεται λύνοντας το (Σ)   και .Λύνοντας τις 2 εξισώσεις 2x+y+2 = 0 και x+8y-3 = 0 βρίσκουμε y = 8/15 και x = -18/15 άρα Κ(-18/15,8/15) ή Κ(-18,8,15).

Για την διάμετρο D₁ ξέρουμε ότι διέρχεται από το κέντρο και ότι είναι παράλληλη στην ευθεία Ε άρα έχει την ίδια διεύθυνση με αυτή την ευθεία και το ίδιο σημείο στο άπειρο, έστω Α. Μπορούμε εύκολα να τη βρούμε εφ’ όσον ξέρουμε 2 σημεία της.

Για τη διάμετρο D₂ ξέουμε ότι είναι η πολική του σημείου στο άπειρο της D₁ άρα

Η διάμετρος D₁ μπορεί τώρα να βρεθεί και με δεύτερο τρόπο. Η D₁ είναι προφανώς η πολική του σημείου τομής της D₂ με την ευθεία του απείρου. Με όποιον τρόπο και να γίνει το αποτέλεσμα είναι D₁3x + 13/3.

Τα αποτελέσματα μπορούν να αναπαρασταθούν γραφικά ως εξής

Συμπέρασμα:

Με την προσέγγιση αυτή μπορούμε να έχουμε μια νέα αντίληψη των κωνικών τομών και τις έννοιας του απέιρου. Σε διαφορετικές γεωμετρίες το άπειρο μπορεί να μην είναι πλέον ευθεία αλλά σημείο. Το πως θα θεωρήσουμε γεωμετρικά το άπειρο είναι λοιπόν σύμβαση κι εμείς διαλέξαμε το άπειρο να είναι ευθεία διότι μας βόλευε στην ανάλυση των κωνικών τομών. Επίσης θεωρήσαμε έναν χώρο στον οποίο δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείθες με την έννοια ότι συναντούνται στο άπειρο. Σε άλλα κεφάλαια της γεωμετρίας βέβαια θεωρούμε ότι υπάρχουν παράλληλες ευθείες.

Η εργασία αυτή αποτελεί μια εισαγωγή στην προσέγγιση των κωνικών τομών μέσω της ευθείας του απείρου. Τα κυριότερα θεωρητικά σημεία της θεωρίας όπως διάκριση του είδους της κωνικής τομής, η εύρεση ασύμπτωτων και εφαπτόμενων έχουν συμπεριληφθεί. Η βαθύτερη κατανόηση του κεφαλαίου θα επιτευχθεί αν λυθούν οι ασκήσεις.

Όποιος έχει όρεξη, απορίες ή οποιαδήποτε ερώτηση ας μου στείλει mailστη διεύθυνση

funkadelicgr@yahoo.gr